内容、逼真度、理论更替与科学进步
自逻辑经验主义衰落以来，卡尔·波普尔关于作为全称命题的科学理论只能被基础陈述证伪的论断便深入人心。更重要的是，他坚持认为，归纳主义者的概率方案势必失败：基础陈述对全称命题的确证并不能增加后者的成真概率；无论如何解释，理论定律的概率都只能是零。这样一来，科学就应该被理解为一个寻找错误-抛弃理论的不断失败的事业，并且，我们将从失败中进步。
在此值得深入讨论的是“进步”这个概念。显然，如果理论 A 比理论 B 更好，而且科学团体最终选择了支持-发展 A，那么似乎就可以称科学事业为“进步的”。但我们很快发现，波普尔对归纳主义的拒绝使得他很难提出一个标准来进行理论定律间的比较：具体而言，似乎不可能一方面说任何全称命题的成真概率都是零，一方面又认为这些命题有优劣之分；另一个问题是，即使 B 已经被证伪而 A 没有，在未比较两者的经验内容的情况下，也不能说 A 比 B 更好：有可能 B 的具体论域比 A 更大——换言之，如果 A 所能解释的现象比 B 更少，我们也不能认为 A 比 B 更优。而更一般的情况是：当 A 与 B 都已经受住严格检验且尚未被证伪时，若能够比较两者的经验内容，我们似乎就可以恰当地说，经验内容更多的理论更可取（上述分析意味着，科学哲学似乎试图代替科学团体自身来判断哪种理论更好，这或许会令人们感到荒诞。哲学家有什么资格代替科学共同体或科学名流来决定科学的发展进路呢？然而，如沃特金斯所说，“现在摆在我面前的这些理论中哪个是最好的？”与“如果我继续研究，那么这些理论中哪一个是最有前途的？”是两个不同的问题。或许只有朴素的归纳主义者才会宣称目前为止最好的理论就等同于将来最有前途的理论。令人遗憾的是，某些非归纳主义者如伊姆雷·拉卡托斯——或许还包括保罗·费耶阿本德——同样混淆了这两点：他们认为，在科学发展中只存在判例法，而不存在成文法。但是，如果这一看法是正确的，我们就不可能为作为合乎理性规则之研究事业的科学作出任何辩护——除非直截了当地宣称科学的合理性仅仅来自科学研究者的共识。而相比之下一个鼓舞人的论断是，抛开科学史，在竞争的研究纲领之间，依然存在着某个可以得到证成的、用于评价不同理论的合理性的知识标准，而科学哲学的工作就是发现它）。
在1934年的《科学发现的逻辑》中，波普尔尝试提出两个建立在“潜在证伪者”（potential falsifier，PF）概念基础上的互为补充的标准来解决上述问题。潜在证伪者意指能够证伪某个理论的可能的基础陈述：可以想见，如果 A 的 PF 类是 B 的 PF 类的子类，或者说，如果每一个能够证伪 A 的基础陈述都能够证伪 B 而反之不然，那么就可以说，B 的可检验度（可证伪度）比 A 更大；而由于 B 相对于 A 排除了更大的基础陈述类，那么就又可以说B的经验内容比 A 更多，亦即 Ct(B)>Ct(A)（这一点似乎不容易理解。想象一个天气预测理论宣称“明天要么下雨，要么不下雨”，显然它没有任何经验内容——从它出发，无法衍推出任何类似于“给定初始条件 i，在时-空区域 j，有现象 k”这样的基础陈述。因此，“经验内容”概念指的并不是某些似是而非的论述表面上看起来所论及的范围。而直观地看，一个理论对经验世界断定得越多，它就越容易与可能的基础陈述发生矛盾，因此也就越容易被证伪；因此，可以用与该理论发生矛盾的基础陈述类的大小来衡量理论的经验内容。严格地说，这并不是一个定义：我们显然并非认为只有理论所拒斥的东西才是其“经验内容”；我们只是将之视为一个实用的、可靠的量度。进一步，可以将语句的“逻辑内容”定义为逻辑上由该语句得出的所有陈述的类。在下文中，一般用“内容”一词指代“逻辑内容”概念）。但是，很多情况下，由于不同理论所涉及的参量不同，因此其 PF 也不同；这样，就无法将它们置于子类关系中。为说明这一点，沃特金斯设定了两个理论：T1 为∀x(P1x⊃P2x)；T2 为 ∀x((P1x∧P2x)⊃P3x)。显然，由于 T2 的 PF 必定要涉及到一个在 T1 中并未出现的谓词 P3，我们就不可能说 T1 的 PF 类与 T2 的 PF 类构成了子类关系。对此，波普尔提出了维度标准：首先，对于要比较的理论，设定其“原子谓词”——这一概念类似于罗素-前期维特根斯坦意义上的“原子命题”——如 P1、P2 与 P3；由此可以得出恰好足以证伪对象理论的最小 PF：如 T1 的最小 PF 为 PF1：P1a∧¬P2a，而 T2 的最小 PF 则为PF2：P1a∧P2a∧¬P3a。继而，波普尔将基础陈述所涉及的谓词视为陈述的“维度”，而将维度的数量命名为基础陈述的“复合度”：因此 PF1 的复合度为2，PF2 的复合度为3。不难发现，最小 PF 的复合度越小，它对理论所构成的限制就越大；结论便是，复合度与可检验度（可证伪度）成反比，与理论的经验内容同样成反比，即 Ct(T1)>Ct(T2)。
然而，当把维度标准应用于处于对应关系中的理论时，却出了问题。假设存在两个理论，其中 T1 宣称“所有雄性小鼠皆为长尾，所有雌性小鼠皆为非长尾”，而 T2 宣称“所有小鼠皆为长尾”。不难看出，这两个理论的内容是相等的——亦即它们蕴含着同样大小的基础陈述类（这一点可以通过将T2改写为“所有雄性小鼠皆为长尾，所有雌性小鼠皆为长尾”，或者将 T1 与 T2 分别符号化为 ∀x((Sx⊃Lx)∧(¬Sx⊃¬Lx)) 与 ∀x((Sx⊃Lx)∧(¬Sx⊃Lx)) 来得出）。简单分析如下：首先，由于 T1 的 PF 必定涉及性别谓词 S（如Sa∧¬La 或 ¬Sa∧La）而 T1 的 PF 只需涉及谓词 L（如¬La），因此子类关系标准在此不起作用；而维度标准则会根据 T1 的最小 PF 的复合度为2而 T2 的最小 PF 的复合度为1来得出 Ct(T1)>Ct(T2) 的结论，但这是不正确的。这就意味着，波普尔的内容比较标准出现了糟糕的反例。
在随后的著作——1963年的《猜想与反驳》与1972年的《客观知识》——中，波普尔尝试提出新的标准来补救证伪主义的方法论。他指出，对于旧的理论 T1 与新的理论 T2，如果下述条件能够得到满足：
（1）T2 能够同样精确或更精确地回答 T1 所回答的每一个问题；
（2）存在某些问题，T2 能够提供非重言的解答，而 T1 不能。
我们就可以认为 Ct(T2)>Ct(T1) 。进一步，又将理论的“逼真度”（Verisimilitude）定义为理论的真内容与假内容的差：所谓真内容（假内容），即指陈述所衍推出的非重言式的所有真陈述（假陈述）的类。这无疑是一个飞跃：由于先前真理符合论（真即符合事实）名声不佳，因而在《科学发现的逻辑》中波普尔并未谈论“真理”概念，对科学研究的目的也避而不谈——对此拉卡托斯恰当地评论说，波普尔指出了科学游戏应该怎么玩，但并未告诉我们为什么要玩。而在阿尔弗雷德·塔尔斯基在1935年发表了开创性的论文《形式化语言中的真概念》之后，波普尔才如释重负地感叹道：“多亏塔尔斯基的工作，客观真理或绝对真理——符合事实的真理——的概念今天看来已被所有理解它的人深信不疑地接受了”（当然，由于他将塔尔斯基的真理概念直接由语义学领域迁移至知识论领域，因而也受到了严重的批评。这一点在此暂不予讨论）。自此之后，他就开始将探索真理（尽管不是获得真理）视为科学研究的目的，而逼真度即是衡量理论接近真理之程度的核心概念。
虽然理论定律的成真概率只能为零，但应该注意到，任何理论都同时包含着真的内容与假的内容；而我们的直观是，对于两个竞争理论，如果前者比后者包含着更多的真内容与更少的假内容，那么就可以认为前者比后者更接近真理。因此，对于竞争理论 A 与 B，可以定义：A 比 B 的逼真度更高，当且仅当
（1）A 的真内容而非假内容超过B的；
或
（2）B 的假内容而非真内容超过A的。
由此，设理论A的真内容为 CtT(A)，假内容为 CtF(A)，就可以将A的逼真度 Vs(A) 表示为：
Vs(A)=CtT(A)−CtF(A)
不难看出，逼真度是一个相对概念，其意义只能在比较-评价竞争理论时显示出来。
可以进一步定义：Vs(A)>Vs(B)，当且仅当
1. 对于任意陈述 m，B 蕴含 m，m 为真，则 A 亦蕴含 m；这意谓着 B 的真内容亦为 A 所拥有。
且
2. 对于任意陈述 m，A 蕴含 m，m 为假，则 B 亦蕴含 m；这意谓着 A 的假内容亦为 B 所拥有。
且
3(1). 存在陈述 m，A 蕴含 m，m 为真，则 B 不蕴含 m；这意谓着 A 拥有 B 所不拥有的真内容。
或
3(2). 存在陈述 m，B 蕴含 m，n 为假，则 A 不蕴含 m；这意谓着 B 拥有 A 所不拥有的假内容。
遗憾的是，1974年，David Miller 与 Pavel Tichý 分别独立发现了新的内容比较标准与逼真度理论中的重大缺陷。对前者的分析如下：
考虑一个常见情况：新的理论 A 修改了旧的理论 B，它们在某些问题上提供了不同的答案（如前述关于小鼠尾巴长度的两个理论）。不难看出，必定存在非重言的陈述 o，使 B⊃o，A⊃¬o；再取任一与 A 逻辑上无关的非重言的陈述 p，则可知：o∨p 属于 B 的内容，但不属于 A 的内容，Ct(B)>Ct(A)。这一结论是荒谬的。
对逼真度理论的分析如下——设 A 与 B 均为假（显然，当 A 为假、B 为真时，B 的假内容为空类，违反条件2，Vs(A) 不大于 Vs(B)）：
从上述条件1与条件3(1)出发：假设有CtT(A)>CtT(B)，则存在真陈述 a，使 A⊃a 且 B⊃¬a；再假设 f 为 A 所蕴含的假陈述。由此可知 a∧f 属于 A 的假内容。但由于 B 并不蕴含 a，因此 a∧f 不属于 B 的内容。这就意味着 A 的假内容超过 B 的。所以，如果前提是 CtT(A)>CtT(B)，就可以合乎逻辑地推出 CtF(A)>CtF(B)——这违反了条件2，Vs(A) 不大于 Vs(B)。
从上述条件2与条件3(2)出发：假设有CtF(B)>CtF(A)，则存在假陈述 b，使 B⊃b 且 A⊃¬b；再同样假设 f 为 A 所蕴含的假陈述。由此可知 f⊃b 为真，且可由 b 推出；所以 f⊃b 属于 B 的真内容。但由于 A 并不蕴含 b，因此 f⊃b 不属于 A 的内容。这就意味着 B 的真内容超过 A 的。所以，如果前提是 CtF(B)>CtF(A)，就可以合乎逻辑地推出 CtT(B)>CtT(A)——这违反了条件1，Vs(A) 不大于 Vs(B)。
综上所述，可以证明，只要 A 为假，对于任何 B，都有 Vs(A) 不大于 Vs(B)。这就使得逼真度概念完全失去了意义。
我们能够发现，波普尔的方法论所暴露的困难，都可归因于它无法处理某些含有二分谓词的理论陈述。所谓二分谓词，即类似于“是雄性”“是雌性”或“是长尾”“是短尾”之类具有二分性质的谓词：设 Sx 为“x 是雄性”，则 ¬Sx 即为“x 是雌性”，没有例外。而且，某些包含成对的二分谓词的陈述应当被视为具有同等的信息：如 Sa（a 是雄性）与¬Sa（a 是雌性）的内容显然一样多。但是，由于缺少足够完备的理论工具，波普尔的方法论对这类陈述的处理并不切合我们的直观。对此，沃特金斯提出了“非叠合对应物”的概念。考虑上文所提到的两个理论，T1 为“所有雄性小鼠皆为长尾，所有雌性小鼠皆为非长尾”，而 T2 为“所有小鼠皆为长尾”。将它们分别符号化为 ∀x((Sx⊃Lx)∧(¬Sx⊃¬Lx)) 与 ∀x((Sx⊃Lx)∧(¬Sx⊃Lx))，不难看出，两个理论所涉及的谓词均为二分谓词。由此可定义“非叠合对应物”概念。两个语句是非叠合对应物，当且仅当：
1.它们的谓词均为二分原子谓词，其唯一区别是在一处或几处有一个或几个二分谓词的符号变为相反，并且当任何无关紧要地出现的谓词被消去后，它们依然拥有共同的谓词；
且
2.它们的谓词可被全部转换为由原子谓词生成的“分子谓词”，其唯一区别是一个语句中的一个或几个分子谓词不同于另一个语句中相对应的分子谓词。
审视 T1 与 T2，不难得出它们满足条件1；但条件2并不那么直观。于是我们可以如此定义由原子谓词 S 与 L 构成的分子谓词（n 个原子谓词能够生成 2^n 个分子谓词）：Q1x 为 Sx∧Lx；Q2x 为 Sx∧¬Lx；Q3x 为 ¬Sx∧Lx；Q4x 为 ¬Sx∧¬Lx。将它们代入 T1 与 T2，经过简单的变换，可以得出：T1 为∀x(Q1x∨Q4x)，T2为 ∀x(Q1x∨Q3x)——这就满足了条件2。因此 T1 与 T2 是非叠合对应物：它们拥有不同但等量的内容。进一步，如果 T1 属于 T0 的内容，则可知 T1 的 PF 类小于 T0 的，Ct(T0)>Ct(T1)。又因为 T1 与 T2 为非叠合对应物，Ct(T1)=Ct(T2)，则易知 Ct(T0)>Ct(T2)。这使得在形式上比较类似于“所有雄性啮齿目动物皆为长尾，所有雌性啮齿目动物皆为短尾”与“所有小鼠皆为长尾”这样的理论定律的内容成为可能：如果能够从前者中衍推出后者的非叠合对应物语句，则显然前者的经验内容更多，因而也更可取。
这样一来，证伪主义的内容比较标准就得到了挽救。但沃特金斯进而认为，逼真度是一个错误的概念：我们只能根据实验结果来暂时判断哪个理论具有更多的真内容，这并不涉及理论的未来表现；但在波普尔的方法论中，逼真度是一个静态的量度——一个理论的真内容与假内容是不变的，变化的只有我们的知识。因此，在从暂时性的、动态的理论表现引申出永恒的、静态的逼真度概念时，波普尔进行了归纳主义式的跳跃。这使得他偏离了自己的纲领。
然而，如果逼真度理论是错误的，那么我们就无法说明科学事业为何应该选择当前最可取的理论。对此沃特金斯提出了一个假定：迄今为止更可取的理论取得了更大的成功，由此，我们应该选择当前更可取的理论来进行研究。这一点似乎依然依赖于从过去到未来的归纳推理：由于以前更可取的理论更成功，因此现在（包括未来）更可取的理论也会更成功。但应该注意，这只是一个假定，并不是对合理性观念的表达：它并不是说，只要科学团体不投入对当前最可取的理论的研究，就是非理性的。科学的合理性并不建立在这样的归纳推理之上。退一万步看，否认对当前最可取理论的选择的合理性，也并不意味着这样选择就是不合理的——即使按照怀疑论者所说：对于多个竞争理论不存在任何知识论上的标准以判断哪一个能够取得更大的成功，那么这反过来也恰恰意味着，无论我们从中选择哪一个理论，都不能被称为非理性的。当且仅当存在一个可行的关于理性行动的标准时，不按照这一标准行事才是非理性的；我们不能说，仅仅因为不存在这样的标准，因此无论怎样行动都是非理性的。无论如何，这并不构成对科学合理性的威胁。
回到文首的论题，我们现在已经发现，“进步”这一概念并不容易把握：即使科学团体基于各种理由在一定时间段内支持-发展一个当前并非最可取的理论，也未必违背科学游戏的规则、伤害科学发展的进步趋势。很大程度上，“进步”只是一个事后的评价：如果可以将“进步”的涵义理解为“越来越成功”的话，那么它就仅仅表达了一个历史事实。而科学哲学在知识论领域中的工作则表明，存在着比较竞争理论的静态标准，它是科学研究的基础，同时也为科学的合理性提供了有力的辩护。虽然归纳问题破坏了科学合理性与科学进步的必然联系，但无论如何，当我们信赖并服膺于科学的时候，我们并不是非理性的，也没有作出错误的选择。怀疑论者并不能动摇我们。
在此值得深入讨论的是“进步”这个概念。显然，如果理论 A 比理论 B 更好，而且科学团体最终选择了支持-发展 A，那么似乎就可以称科学事业为“进步的”。但我们很快发现，波普尔对归纳主义的拒绝使得他很难提出一个标准来进行理论定律间的比较：具体而言，似乎不可能一方面说任何全称命题的成真概率都是零，一方面又认为这些命题有优劣之分；另一个问题是，即使 B 已经被证伪而 A 没有，在未比较两者的经验内容的情况下，也不能说 A 比 B 更好：有可能 B 的具体论域比 A 更大——换言之，如果 A 所能解释的现象比 B 更少，我们也不能认为 A 比 B 更优。而更一般的情况是：当 A 与 B 都已经受住严格检验且尚未被证伪时，若能够比较两者的经验内容，我们似乎就可以恰当地说，经验内容更多的理论更可取（上述分析意味着，科学哲学似乎试图代替科学团体自身来判断哪种理论更好，这或许会令人们感到荒诞。哲学家有什么资格代替科学共同体或科学名流来决定科学的发展进路呢？然而，如沃特金斯所说，“现在摆在我面前的这些理论中哪个是最好的？”与“如果我继续研究，那么这些理论中哪一个是最有前途的？”是两个不同的问题。或许只有朴素的归纳主义者才会宣称目前为止最好的理论就等同于将来最有前途的理论。令人遗憾的是，某些非归纳主义者如伊姆雷·拉卡托斯——或许还包括保罗·费耶阿本德——同样混淆了这两点：他们认为，在科学发展中只存在判例法，而不存在成文法。但是，如果这一看法是正确的，我们就不可能为作为合乎理性规则之研究事业的科学作出任何辩护——除非直截了当地宣称科学的合理性仅仅来自科学研究者的共识。而相比之下一个鼓舞人的论断是，抛开科学史，在竞争的研究纲领之间，依然存在着某个可以得到证成的、用于评价不同理论的合理性的知识标准，而科学哲学的工作就是发现它）。
在1934年的《科学发现的逻辑》中，波普尔尝试提出两个建立在“潜在证伪者”（potential falsifier，PF）概念基础上的互为补充的标准来解决上述问题。潜在证伪者意指能够证伪某个理论的可能的基础陈述：可以想见，如果 A 的 PF 类是 B 的 PF 类的子类，或者说，如果每一个能够证伪 A 的基础陈述都能够证伪 B 而反之不然，那么就可以说，B 的可检验度（可证伪度）比 A 更大；而由于 B 相对于 A 排除了更大的基础陈述类，那么就又可以说B的经验内容比 A 更多，亦即 Ct(B)>Ct(A)（这一点似乎不容易理解。想象一个天气预测理论宣称“明天要么下雨，要么不下雨”，显然它没有任何经验内容——从它出发，无法衍推出任何类似于“给定初始条件 i，在时-空区域 j，有现象 k”这样的基础陈述。因此，“经验内容”概念指的并不是某些似是而非的论述表面上看起来所论及的范围。而直观地看，一个理论对经验世界断定得越多，它就越容易与可能的基础陈述发生矛盾，因此也就越容易被证伪；因此，可以用与该理论发生矛盾的基础陈述类的大小来衡量理论的经验内容。严格地说，这并不是一个定义：我们显然并非认为只有理论所拒斥的东西才是其“经验内容”；我们只是将之视为一个实用的、可靠的量度。进一步，可以将语句的“逻辑内容”定义为逻辑上由该语句得出的所有陈述的类。在下文中，一般用“内容”一词指代“逻辑内容”概念）。但是，很多情况下，由于不同理论所涉及的参量不同，因此其 PF 也不同；这样，就无法将它们置于子类关系中。为说明这一点，沃特金斯设定了两个理论：T1 为∀x(P1x⊃P2x)；T2 为 ∀x((P1x∧P2x)⊃P3x)。显然，由于 T2 的 PF 必定要涉及到一个在 T1 中并未出现的谓词 P3，我们就不可能说 T1 的 PF 类与 T2 的 PF 类构成了子类关系。对此，波普尔提出了维度标准：首先，对于要比较的理论，设定其“原子谓词”——这一概念类似于罗素-前期维特根斯坦意义上的“原子命题”——如 P1、P2 与 P3；由此可以得出恰好足以证伪对象理论的最小 PF：如 T1 的最小 PF 为 PF1：P1a∧¬P2a，而 T2 的最小 PF 则为PF2：P1a∧P2a∧¬P3a。继而，波普尔将基础陈述所涉及的谓词视为陈述的“维度”，而将维度的数量命名为基础陈述的“复合度”：因此 PF1 的复合度为2，PF2 的复合度为3。不难发现，最小 PF 的复合度越小，它对理论所构成的限制就越大；结论便是，复合度与可检验度（可证伪度）成反比，与理论的经验内容同样成反比，即 Ct(T1)>Ct(T2)。
然而，当把维度标准应用于处于对应关系中的理论时，却出了问题。假设存在两个理论，其中 T1 宣称“所有雄性小鼠皆为长尾，所有雌性小鼠皆为非长尾”，而 T2 宣称“所有小鼠皆为长尾”。不难看出，这两个理论的内容是相等的——亦即它们蕴含着同样大小的基础陈述类（这一点可以通过将T2改写为“所有雄性小鼠皆为长尾，所有雌性小鼠皆为长尾”，或者将 T1 与 T2 分别符号化为 ∀x((Sx⊃Lx)∧(¬Sx⊃¬Lx)) 与 ∀x((Sx⊃Lx)∧(¬Sx⊃Lx)) 来得出）。简单分析如下：首先，由于 T1 的 PF 必定涉及性别谓词 S（如Sa∧¬La 或 ¬Sa∧La）而 T1 的 PF 只需涉及谓词 L（如¬La），因此子类关系标准在此不起作用；而维度标准则会根据 T1 的最小 PF 的复合度为2而 T2 的最小 PF 的复合度为1来得出 Ct(T1)>Ct(T2) 的结论，但这是不正确的。这就意味着，波普尔的内容比较标准出现了糟糕的反例。
在随后的著作——1963年的《猜想与反驳》与1972年的《客观知识》——中，波普尔尝试提出新的标准来补救证伪主义的方法论。他指出，对于旧的理论 T1 与新的理论 T2，如果下述条件能够得到满足：
（1）T2 能够同样精确或更精确地回答 T1 所回答的每一个问题；
（2）存在某些问题，T2 能够提供非重言的解答，而 T1 不能。
我们就可以认为 Ct(T2)>Ct(T1) 。进一步，又将理论的“逼真度”（Verisimilitude）定义为理论的真内容与假内容的差：所谓真内容（假内容），即指陈述所衍推出的非重言式的所有真陈述（假陈述）的类。这无疑是一个飞跃：由于先前真理符合论（真即符合事实）名声不佳，因而在《科学发现的逻辑》中波普尔并未谈论“真理”概念，对科学研究的目的也避而不谈——对此拉卡托斯恰当地评论说，波普尔指出了科学游戏应该怎么玩，但并未告诉我们为什么要玩。而在阿尔弗雷德·塔尔斯基在1935年发表了开创性的论文《形式化语言中的真概念》之后，波普尔才如释重负地感叹道：“多亏塔尔斯基的工作，客观真理或绝对真理——符合事实的真理——的概念今天看来已被所有理解它的人深信不疑地接受了”（当然，由于他将塔尔斯基的真理概念直接由语义学领域迁移至知识论领域，因而也受到了严重的批评。这一点在此暂不予讨论）。自此之后，他就开始将探索真理（尽管不是获得真理）视为科学研究的目的，而逼真度即是衡量理论接近真理之程度的核心概念。
虽然理论定律的成真概率只能为零，但应该注意到，任何理论都同时包含着真的内容与假的内容；而我们的直观是，对于两个竞争理论，如果前者比后者包含着更多的真内容与更少的假内容，那么就可以认为前者比后者更接近真理。因此，对于竞争理论 A 与 B，可以定义：A 比 B 的逼真度更高，当且仅当
（1）A 的真内容而非假内容超过B的；
或
（2）B 的假内容而非真内容超过A的。
由此，设理论A的真内容为 CtT(A)，假内容为 CtF(A)，就可以将A的逼真度 Vs(A) 表示为：
Vs(A)=CtT(A)−CtF(A)
不难看出，逼真度是一个相对概念，其意义只能在比较-评价竞争理论时显示出来。
可以进一步定义：Vs(A)>Vs(B)，当且仅当
1. 对于任意陈述 m，B 蕴含 m，m 为真，则 A 亦蕴含 m；这意谓着 B 的真内容亦为 A 所拥有。
且
2. 对于任意陈述 m，A 蕴含 m，m 为假，则 B 亦蕴含 m；这意谓着 A 的假内容亦为 B 所拥有。
且
3(1). 存在陈述 m，A 蕴含 m，m 为真，则 B 不蕴含 m；这意谓着 A 拥有 B 所不拥有的真内容。
或
3(2). 存在陈述 m，B 蕴含 m，n 为假，则 A 不蕴含 m；这意谓着 B 拥有 A 所不拥有的假内容。
遗憾的是，1974年，David Miller 与 Pavel Tichý 分别独立发现了新的内容比较标准与逼真度理论中的重大缺陷。对前者的分析如下：
考虑一个常见情况：新的理论 A 修改了旧的理论 B，它们在某些问题上提供了不同的答案（如前述关于小鼠尾巴长度的两个理论）。不难看出，必定存在非重言的陈述 o，使 B⊃o，A⊃¬o；再取任一与 A 逻辑上无关的非重言的陈述 p，则可知：o∨p 属于 B 的内容，但不属于 A 的内容，Ct(B)>Ct(A)。这一结论是荒谬的。
对逼真度理论的分析如下——设 A 与 B 均为假（显然，当 A 为假、B 为真时，B 的假内容为空类，违反条件2，Vs(A) 不大于 Vs(B)）：
从上述条件1与条件3(1)出发：假设有CtT(A)>CtT(B)，则存在真陈述 a，使 A⊃a 且 B⊃¬a；再假设 f 为 A 所蕴含的假陈述。由此可知 a∧f 属于 A 的假内容。但由于 B 并不蕴含 a，因此 a∧f 不属于 B 的内容。这就意味着 A 的假内容超过 B 的。所以，如果前提是 CtT(A)>CtT(B)，就可以合乎逻辑地推出 CtF(A)>CtF(B)——这违反了条件2，Vs(A) 不大于 Vs(B)。
从上述条件2与条件3(2)出发：假设有CtF(B)>CtF(A)，则存在假陈述 b，使 B⊃b 且 A⊃¬b；再同样假设 f 为 A 所蕴含的假陈述。由此可知 f⊃b 为真，且可由 b 推出；所以 f⊃b 属于 B 的真内容。但由于 A 并不蕴含 b，因此 f⊃b 不属于 A 的内容。这就意味着 B 的真内容超过 A 的。所以，如果前提是 CtF(B)>CtF(A)，就可以合乎逻辑地推出 CtT(B)>CtT(A)——这违反了条件1，Vs(A) 不大于 Vs(B)。
综上所述，可以证明，只要 A 为假，对于任何 B，都有 Vs(A) 不大于 Vs(B)。这就使得逼真度概念完全失去了意义。
我们能够发现，波普尔的方法论所暴露的困难，都可归因于它无法处理某些含有二分谓词的理论陈述。所谓二分谓词，即类似于“是雄性”“是雌性”或“是长尾”“是短尾”之类具有二分性质的谓词：设 Sx 为“x 是雄性”，则 ¬Sx 即为“x 是雌性”，没有例外。而且，某些包含成对的二分谓词的陈述应当被视为具有同等的信息：如 Sa（a 是雄性）与¬Sa（a 是雌性）的内容显然一样多。但是，由于缺少足够完备的理论工具，波普尔的方法论对这类陈述的处理并不切合我们的直观。对此，沃特金斯提出了“非叠合对应物”的概念。考虑上文所提到的两个理论，T1 为“所有雄性小鼠皆为长尾，所有雌性小鼠皆为非长尾”，而 T2 为“所有小鼠皆为长尾”。将它们分别符号化为 ∀x((Sx⊃Lx)∧(¬Sx⊃¬Lx)) 与 ∀x((Sx⊃Lx)∧(¬Sx⊃Lx))，不难看出，两个理论所涉及的谓词均为二分谓词。由此可定义“非叠合对应物”概念。两个语句是非叠合对应物，当且仅当：
1.它们的谓词均为二分原子谓词，其唯一区别是在一处或几处有一个或几个二分谓词的符号变为相反，并且当任何无关紧要地出现的谓词被消去后，它们依然拥有共同的谓词；
且
2.它们的谓词可被全部转换为由原子谓词生成的“分子谓词”，其唯一区别是一个语句中的一个或几个分子谓词不同于另一个语句中相对应的分子谓词。
审视 T1 与 T2，不难得出它们满足条件1；但条件2并不那么直观。于是我们可以如此定义由原子谓词 S 与 L 构成的分子谓词（n 个原子谓词能够生成 2^n 个分子谓词）：Q1x 为 Sx∧Lx；Q2x 为 Sx∧¬Lx；Q3x 为 ¬Sx∧Lx；Q4x 为 ¬Sx∧¬Lx。将它们代入 T1 与 T2，经过简单的变换，可以得出：T1 为∀x(Q1x∨Q4x)，T2为 ∀x(Q1x∨Q3x)——这就满足了条件2。因此 T1 与 T2 是非叠合对应物：它们拥有不同但等量的内容。进一步，如果 T1 属于 T0 的内容，则可知 T1 的 PF 类小于 T0 的，Ct(T0)>Ct(T1)。又因为 T1 与 T2 为非叠合对应物，Ct(T1)=Ct(T2)，则易知 Ct(T0)>Ct(T2)。这使得在形式上比较类似于“所有雄性啮齿目动物皆为长尾，所有雌性啮齿目动物皆为短尾”与“所有小鼠皆为长尾”这样的理论定律的内容成为可能：如果能够从前者中衍推出后者的非叠合对应物语句，则显然前者的经验内容更多，因而也更可取。
这样一来，证伪主义的内容比较标准就得到了挽救。但沃特金斯进而认为，逼真度是一个错误的概念：我们只能根据实验结果来暂时判断哪个理论具有更多的真内容，这并不涉及理论的未来表现；但在波普尔的方法论中，逼真度是一个静态的量度——一个理论的真内容与假内容是不变的，变化的只有我们的知识。因此，在从暂时性的、动态的理论表现引申出永恒的、静态的逼真度概念时，波普尔进行了归纳主义式的跳跃。这使得他偏离了自己的纲领。
然而，如果逼真度理论是错误的，那么我们就无法说明科学事业为何应该选择当前最可取的理论。对此沃特金斯提出了一个假定：迄今为止更可取的理论取得了更大的成功，由此，我们应该选择当前更可取的理论来进行研究。这一点似乎依然依赖于从过去到未来的归纳推理：由于以前更可取的理论更成功，因此现在（包括未来）更可取的理论也会更成功。但应该注意，这只是一个假定，并不是对合理性观念的表达：它并不是说，只要科学团体不投入对当前最可取的理论的研究，就是非理性的。科学的合理性并不建立在这样的归纳推理之上。退一万步看，否认对当前最可取理论的选择的合理性，也并不意味着这样选择就是不合理的——即使按照怀疑论者所说：对于多个竞争理论不存在任何知识论上的标准以判断哪一个能够取得更大的成功，那么这反过来也恰恰意味着，无论我们从中选择哪一个理论，都不能被称为非理性的。当且仅当存在一个可行的关于理性行动的标准时，不按照这一标准行事才是非理性的；我们不能说，仅仅因为不存在这样的标准，因此无论怎样行动都是非理性的。无论如何，这并不构成对科学合理性的威胁。
回到文首的论题，我们现在已经发现，“进步”这一概念并不容易把握：即使科学团体基于各种理由在一定时间段内支持-发展一个当前并非最可取的理论，也未必违背科学游戏的规则、伤害科学发展的进步趋势。很大程度上，“进步”只是一个事后的评价：如果可以将“进步”的涵义理解为“越来越成功”的话，那么它就仅仅表达了一个历史事实。而科学哲学在知识论领域中的工作则表明，存在着比较竞争理论的静态标准，它是科学研究的基础，同时也为科学的合理性提供了有力的辩护。虽然归纳问题破坏了科学合理性与科学进步的必然联系，但无论如何，当我们信赖并服膺于科学的时候，我们并不是非理性的，也没有作出错误的选择。怀疑论者并不能动摇我们。